题目内容
【题目】已知圆:
,圆
:
.
(Ⅰ)设直线被圆
所截得的弦的中点为
,判断点
与圆
的位置关系;
(Ⅱ)设圆被圆
截得的一段圆弧(在圆
内部,含端点)为
,若直线
:
与圆弧
只有一个公共点,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)点在圆
上.(Ⅱ)
或
.
【解析】
(Ⅰ)将直线方程代入圆的方程,消去,得到
,则
,从而得到
的横坐标为2,再代入直线方程求出
的坐标,即可判断点与圆
的位置关系;
(2)设和
的交点为
,
,直线
恒过的定点为
,求出两圆的交点坐标,
分直线与圆
相切时,与直线
与圆弧
相交两种情况计算可得.
解:(1)将代入圆
的方程可得
.
设此方程的两实根分别为,
,则
.
所以点的横坐标为2,从而可得
.
因为,所以点
在圆
上.
(Ⅱ)如图,因为直线:
,
解得
,即直线恒过的定点为
.
设和
的交点为
,
,直线
恒过的定点为
.
由解得
,
.
所以,
.
(ⅰ)当直线与圆
相切时.
由可得
.
令,则
.
此时解得,切点在圆弧
上,符合题意.
(ⅱ)当直线与圆弧
相交时,由图可知,要使交点只有一个,则
在
和
之间.
因为,
,
所以.
综上所述,的取值范围是
或
.
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