题目内容
【题目】已知,函数
.
(1)讨论的单调性;
(2)设,若
的最大值为
,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)当时,
;当
时,
.
【解析】
(1)根据函数解析式,先讨论当
与
两种情况.当
时易判断单调递减,当
时,讨论对称轴与区间
的关系,即可判断单调性.
(2)根据(1)中所得在不同范围内的单调情况分类讨论. 当
,
在
递减结合二次函数与绝对值函数的性质,并由
的最大值即可求得
的值,进而得
的取值范围;当
时,
在
递增,在
递减,同理解绝对值不等式可求得
的取值范围,进而得
的取值范围.
(1)①当时,
,
在
单调递减
②当时,即
时,
在
单调递减
③当时,即
时,
在
递增,在
递减
④当时,不成立,所以无解.
综上所述,当时,
在
单调递减;
当时,
在
递增,在
递减
(2)①当时,
在
递减,
,
,
∵,
∴,
∴,
∴.
得.
②当时,
在
递增,在
递减,
又,
,
∵,
∴,同时
,
∴
∴
∴
又∵,
∴,
又∵,
∴
且可得在
递增,
所以.
综上所述, 当时,
;当
时,
.
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