题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)试判断函数的单调性;
(2)是否存在实数,使函数
的极值大于
?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在,实数的取值范围为
.
【解析】
(1)求出导函数,由
确定增区间,由
确定减区间,为此必须对
分类讨论,先分类
,
,
时,按
和
分类,在
时按
和
分类,
时,两根是负数,不在定义域内,而
时,
的两根一正一负,易得结论;
(2)由(1)只有时,
在一个极大值点
,因此题意要求
,
,其中
.
满足
即
,即
,这样有
.于是令
,讨论
的单调性得
,所以
等价于
,解不等式
可得结论。
(1)由题可得,函数的定义域为
,
.
①当时,
,所以函数
在
上单调递增.
②当时,令
,即
,即
,
.
当,即
时,
,
故,所以函数
在
上单调递增.
当,即
时,方程
的两个实根分别为
,
.
若,则
,
,
此时,所以函数
在
上单调递增;
若,则
,
,
此时当时,
,当
时,
,
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减.
综上所述,当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数
在
单调递增,在
上单调递减.
(2)由(1)可得,当时,函数
在
上单调递增,故函数
无极值;
当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减,
此时函数有极大值,极大值为
,其中
.
又,所以
,即
,所以
.
令,则
,
所以函数在
上单调递增.
又,所以当
时,
,所以
等价于
,
即当时,
,即
,
显然当时,
,所以
,即
,解得
,
故存在满足条件的实数,使函数
的极值大于
,此时实数
的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某次考试中500名学生的物理(满分为150分)成绩服从正态分布,数学成绩的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)如果成绩大于135分为特别优秀,那么本次考试中的物理、数学特别优秀的大约各有多少人?
(Ⅱ)如果物理和数学两科都特别优秀的共有4人,是否有99.9%的把握认为物理特别优秀的学生,数学也特别优秀?
附:①若,则
②表及公式:
0.50 | 0.40 | … | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | … | 6.635 | 7.879 | 10.828 |