题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)对任意的实数,恒有
成立,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当实数取最小值时,讨论函数
在
时的零点个数.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)由可知,区间
是不等式
解集的子集,由此可得出实数
的不等式,解出即可;
(Ⅱ)由题意可知,,则
,令
,可得出
,令
,对实数
的取值范围进行分类讨论,先讨论方程
的根的个数及根的范围,进而得出方程
的根个数,由此可得出结论.
(Ⅰ),
,
对任意的实数
,恒有
成立,
则区间是不等式
解集的子集,
,解得
,
因此,实数的取值范围是
;
(Ⅱ),由题意可知,
,
,
令,得
,令
,
则,作出函数
和函数
在
时的图象如下图所示:
作出函数在
时的图象如下图所示:
①当或
时,即当
或
时,方程
无实根,
此时,函数无零点;
②当时,即当
时,方程
的根为
,
而方程在区间
上有两个实根,此时,函数
有两个零点;
③当时,即当
时,方程
有两根
、
,
且,
,
方程在区间
上有两个实根,方程
在区间
上有两个实根,此时,函数
有四个零点;
④当时,即当
时,方程
有两根分别为
、
,
方程在区间
上只有一个实根,方程
在区间
上有两个实根,此时,函数
有三个零点;
⑤当时,即当
时,方程
只有一个实根
,且
,
方程在区间
上有两个实根,此时,函数
有两个零点;
⑥当时,即当
时,方程
只有一个实根
,
方程在区间
上只有一个实根,此时,函数
只有一个零点.
综上所述,当或
时,函数
无零点;
当时,函数
只有一个零点;
当或
时,函数
有两个零点;
当时,函数
有三个零点;
当时,函数
有四个零点.
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