题目内容
【题目】将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为( )
A.33B.56C.64D.78
【答案】B
【解析】
记分隔边的条数为,首先将方格表按图分成三个区域,, 分别染成三种颜色, 粗线上均为分隔边,将方格表的行从上至下依次记为
,列从左至右依次记为
,行
中方格出现的颜色为
,列
中方格出现的颜色为
,三种颜色分别记为
,对于一种颜色
,设
为含色方格的行数与列数之和,定义当
行含
色方格时,
,否则
,类似的定义
,计算得到
,再证明
,再证明对任意
均有
,
,最后求出分隔边条数的最小值.
记分隔边的条数为,首先将方格表按图分成三个区域,如图:
分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,此时共有56条分隔边,则,
其次证明:,
将方格表的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为
,
行中方格出现的颜色为
,列
中方格出现的颜色为
,
三种颜色分别记为,对于一种颜色
,设
为含色方格的行数与列数之和,
定义当行含
色方格时,
,否则
,
类似的定义,
所以
,
由于染色的格的行有
个,列有
个,则
色的方格一定在这
行和
列的交叉方格中,从而
,
所以所以①,
由于在行中有
种颜色的方格,于是至少有
条分隔边,
类似地,在列中至少有
条分隔边,
则
②
③,
下面分两种情况讨论:
1、有一行或一列所有方格同色,不妨设为色,则方格表的33列中均含有
色的方格,又
色的方格有363个,
故至少有行含有
色的方格,于是
④,
由①③④得;
2、没有一行也没有一列所有方格同色,对任意均有
,
,
从而由②可得;
综上所述,分隔边条数的最小值为56.
故选:B
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