题目内容
【题目】已知椭圆经过点
,
,点
为椭圆
的右顶点,直线
与椭圆相交于不同于点
的两个点
、
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,求
面积的最大值;
(3)若,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)求出后可得椭圆的标准方程.
(2)设直线,求出
的坐标后可用
表示
,利用双勾函数的性质可求其最大值.
(3)令,
,则可得
,利用同角的三角函数的基本关系式可证
为定值5.
(1)由题设有,故
,所以椭圆的标准方程为
.
(2)直线的斜率必存在,设直线
,
由可得
,
故即
,故
,
同理,
.
所以
,
令,则
,则
,且令
,
任意的,
,
因为,所以
即
,
所以为增函数,所以
,
当且仅当时等号成立,故
的最大值为
.
(3)设,
,
所以即为
,而
,所以
,
故即
.
又
,
故为定值5.
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