题目内容
【题目】若函数满足:对于任意正数
,都有
,且
,则称函数
为“L函数”.
(1)试判断函数与
是否是“L函数”;
(2)若函数为“L函数”,求实数a的取值范围;
(3)若函数为“L函数”,且
,求证:对任意
,都有
.
【答案】(1)是“L函数”.
不是“L函数”.(2)
(3)见解析
【解析】(1)对于函数,当
时,
,
又,所以
,
故是“L函数”.
对于函数,当
时,
,
故不是“L函数”.
(2)当时,由
是“L函数”,
可知,即
对一切正数
恒成立,
又,可得
对一切正数
恒成立,所以
.
由,可得
,
故,又
,故
由对一切正数
恒成立,可得
,即
.
综上可知,a的取值范围是.
(3)由函数为“L函数”, 可知对于任意正数
,
都有,且
,
令,可知
,即
,
故对于正整数k与正数,都有
,
对任意,可得
,又
,
所以,
同理,
故
.
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