题目内容
【题目】为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩
；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩
近似服从正态分布
（
，
约为
），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占
.
（ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
（ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取
人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为
，求的分布列及数学期望
．（说明：
表示
的概率.参考数据：
）
【答案】（1）
；（2）（i）
;(ii) 
.
【解析】
（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令
计算
的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出
的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望.
（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：
（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为，
根据题意，
，即
.
由
得，
，
所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为分.
（ⅱ）因为
，
，
.
所以的分布列为
Y |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
所以
.
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