题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
的离心率是
,且直线
:
被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与圆
:
相切:
(i)求圆的标准方程;
(ii)若直线过定点
,与椭圆
交于不同的两点
、
,与圆
交于不同的两点
、
,求
的取值范围.
【答案】(I);(II)(i)
;(ii)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由直线过定点
,
,可得到
,再结合
,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)(i)利用圆的几何性质,求出圆心到直线
的距离等于半径,即可求出
的值,即可求出圆
的标准方程;(ii)首先设直线
的方程为
,利用韦达定理即可求出弦长
的表达式,同理利用圆的几何关系可求出弦长
的表达式,即可得到
的表达式,再用换元法
,即可求出
的取值范围.
试题解析:
解:(Ⅰ)由已知得直线过定点
,
,
,
又,
,解得
,
,
故所求椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)得直线的方程为
,即
,
又圆的标准方程为
,
∴圆心为,圆的半径
,
∴圆的标准方程为
.
(ii)由题可得直线的斜率存在,
设:
,与椭圆
的两个交点为
、
,
由消去
得
,
由,得
,
,
,
∴.
又圆的圆心
到直线
:
的距离
,
∴圆截直线
所得弦长
,
∴,
设,
,
则,
∵的对称轴为
,在
上单调递增,
,
∴,
∴.
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