题目内容
对于数列
，定义“
变换”：将数列
变换成数列
，其中
，且
.这种“变换”记作
.继续对数列
进行“变换”，得到数列
，依此类推，当得到的数列各项均为
时变换结束．
（Ⅰ）试问
经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设
，．若
，且的各项之和为
．
（ⅰ）求
，
；
（ⅱ）若数列再经过
次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．
，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（Ⅰ）试问
经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设
，．若，且的各项之和为．（ⅰ）求
，；（ⅱ）若数列
再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为
；
；
；
；；…．
以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形． ………3分
（Ⅱ）解：（ⅰ）因为的各项之和为，且
，所以为的最大项，
所以
最大，即
，或
． …………5分
当时，可得
由
，得
，即
，故
．…7分
当时，同理可得，． ………8分
（ⅱ）方法一：由
，则经过
次“变换”得到的数列分别为：
；
；
；
；
；
．
由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12．
因为
，
所以，数列经过
次“变换”后得到的数列为
．
接下来经过“变换”后得到的数列分别为：
；
；；；；
；，……
从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．
所以经过
次“变换”得到的数列各项和最小，
的最小值为
．
……………13分
方法二：若一个数列有三项，且最小项为
，较大两项相差，则称此数列与数列 “结构相同”．
若数列的三项为
，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为
(不考虑顺序) ．
所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少
．
因此，数列
经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列．
通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．
所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．
……………13分
不能结束，各数列依次为；；；；；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为
的情形． ………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）因为
的各项之和为，且，所以为的最大项，所以
最大，即，或． …………5分当
时，可得由
，得，即，故．…7分当
时，同理可得，． ………8分 （ⅱ）方法一：由
，则经过次“变换”得到的数列分别为：；；；；；．由此可见，经过
次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12．因为
，所以，数列
经过次“变换”后得到的数列为．接下来经过“
变换”后得到的数列分别为：；；；；；；，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．
所以经过
次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为．……………13分
方法二：若一个数列有三项，且最小项为
，较大两项相差，则称此数列与数列 “结构相同”．若数列
的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序) ．所以与
结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．因此，数列
经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列．通过列举，不难发现各项为
的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过
次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．……………13分
略
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满足：
，
的值；
的前
项和
．
，
，
，
；
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论
中，
，
．
．证明：数列
是等差数列；
项和
．
的前n项的和
，数列
是正项等比数列，且满足
.
，求数列
的前n项的和.
的通项公式是
，其前
项和是
，对任意的
且
，则
的最大值是（ ）
是公差不为0的等差数列
的前
项和，且
成等比数列，则
和
,其前
项和分别为
,且
则
等于 （ ）
的前10项的和等于