题目内容
【题目】
(本题满分15分)已知m>1,直线,
椭圆,
分别为椭圆
的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点
时,求直线
的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
两点,
,
的重心分别为
.若原点
在以线段
为直径的圆内,求实数
的取值范围.
【答案】,
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由椭圆方程可得椭圆的右焦点坐标将其代入直线方程即可求得
的值. (Ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立,消去
可得关于
的一元二次方程,从而可得两根之积两根之和.根据重心坐标公式分别求得点
的坐标,由题意可知
,即
.根据数量积公式可求得
范围.
试题解析:解:(Ⅰ)∵直线:
经过
,
,得
.
又,
.
故直线的方程为
.
(Ⅱ)设,
由消去
得
,
∴.
由,得
,
由于,故
为
的中点.
由分别为
的重心,可知
,
设是
的中点,则
,
∵原点在以线段
为直径的圆内,
.
而,
∴,即
.
又且
,
.
的取值范围是
.
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