题目内容
【题目】以下结论正确的个数是( )
①若数列中的最大项是第
项,则
.
②在中,若
,则
为等腰直角三角形.
③设、
分别为等差数列
与
的前
项和,若
,则
.
④的内角
、
、
的对边分别为
、
、
,若
、
、
成等比数列,且
,则
.
⑤在中,
、
、
分别是
、
、
所对边,
,则
的取值范围为
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】
对于①,由数列为正项数列可由与
,求得
的取值范围,进而判断出数列的单调性,比较端点处的项即可求得最大项; 对于②将正切化为弦,结合正弦函数的和角公式化简后即可判断三角形形状;对于③根据等差数列性质及等差数列前n项和公式,化简变形即可得解;对于④由等比中项的性质,结合余弦定理化简后即可得解;对于⑤由正弦定理,将边化为角,再根据正弦函数的图像与性质即可化简求得值域.
对于①,数列为正项数列,则
,
.
所以,
若,即
,解得
,即
时数列
为递增数列.
若,即
,解得
,即
时为递减数列.
且因为
,所以
为最大项,即
,所以①正确.
对于②,在中,若
.化简可得
,即
,所以
.两边同时乘以2,化简可得
,则
或
.即
或
,所以
为等腰三角形或直角三角形,故②错误;
对于③,数列与
为等差数列,
、
分别为等差数列
与
的前
项和.根据等差数列性质及前n项和公式可知
而
,所以
,故③正确;
对于④,、
、
成等比数列,所以
,且
则
,而
则由余弦定理可得
.所以④正确;
对于⑤,由正弦定理可得,
,所以
.由
可得
,则
,
所以
,
因为,
所以,
则,
所以⑤正确,
综上可知,正确的有①③④⑤
故选:D
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