题目内容
,设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则.(i)f(
3 | 2 |
(ii)设S为f(x)=0在区间[0,20]内的所有根之和,则S的最小值为
分析:(i)利用奇函数定义和周期函数性质解之;
(ii)通过求f(x)一个周期内使f(x)=0的所有根,进而求出[0,20]内的所有根之和.
(ii)通过求f(x)一个周期内使f(x)=0的所有根,进而求出[0,20]内的所有根之和.
解答:解:(i)因为f(x)是R上的以3为周期的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),f(x+3)=f(x),
则f(-
)=-f(
)且f(-
)=f(-
+3)=f(
),
所以-f(
)=f(
),
解得f(
)=0.
(ii)因为f(x)R上以3为周期的奇函数且f(2)=0,
所以f(1)=-f(-1)=-f(-1+3)=-f(2)=0
所以在x∈[0,3]一个周期内至少有f(0)=0,f(1)=0,f(
)=0,f(2)=0,f(3)=0,
所以在区间[0,20]内f(x)=0至少有根0,1,
,2,3,4,
,5,6,…,17,18,19,
,20.
所以Smin=
+
=283.5
所以f(-x)=-f(x),f(x+3)=f(x),
则f(-
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
所以-f(
3 |
2 |
3 |
2 |
解得f(
3 |
2 |
(ii)因为f(x)R上以3为周期的奇函数且f(2)=0,
所以f(1)=-f(-1)=-f(-1+3)=-f(2)=0
所以在x∈[0,3]一个周期内至少有f(0)=0,f(1)=0,f(
3 |
2 |
所以在区间[0,20]内f(x)=0至少有根0,1,
3 |
2 |
9 |
2 |
39 |
2 |
所以Smin=
20(1+20) |
2 |
7(
| ||||
2 |
点评:本题主要考查函数的周期性和奇偶性,同时考查等差数列求和.
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