Question

5．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$+x+1，若f（a）+f（a+1）＞0，则实数a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由函数的解析式可得f（x）是奇函数，且在R上单调递增，故由f（a）+f（a+1）＞0可得f（a）＞f（-a-1），从而得到a＞-a-1，由此求得a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$+x+1=$\frac{{e}^{x}+1-2}{{e}^{x}+1}$+x+1=x+2-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，∴f′（x）=1+$\frac{{2e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$＞0，
故函数f（x）在R上是增函数．
对于函数f（x）=x+2-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$的定义域为R，且满足f（-x）=2-x-$\frac{2}{{e}^{-x}+1}$=2-x-$\frac{2{•e}^{x}}{1{+e}^{x}}$
=2-x-$\frac{2{（e}^{x}+1）-2}{1{+e}^{x}}$=-x-2+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$=-f（x），
故f（x）为奇函数．
由f（a）+f（a+1）＞0，可得f（a）＞-f（a+1）=f（-a-1），
∴a＞-a-1，解得 a＞-$\frac{1}{2}$．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．