Question

2．设m∈N*，已知函数f（x）=（2m-m²）•x${\;}^{2{m}^{2}+3m-4}$在（0，+∞）上是增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=$\frac{[f（x）]^{2}+{λ}^{2}}{f（x）}$（λ≠0是常数），试讨论g（x）在（-∞，0）上的单调性，并求g（x）在区间（-∞，0）上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用已知函数f（x）=（2m-m²）•x${\;}^{2{m}^{2}+3m-4}$在（0，+∞）上是增函数，m∈N^*，求出m，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{2m-{m}^{2}＞0}\\{2{m}^{2}+3m-4＞0}\end{array}\right.$，
∵m∈N^*，∴m=1，
∴f（x）=x；
（2）g（x）=$\frac{[f（x）]^{2}+{λ}^{2}}{f（x）}$=x+$\frac{{λ}^{2}}{x}$，
∴函数在（-∞，-|λ|）上单调递增，在（-|λ|，0）上单调递减，
∴x=-|λ|，函数取得最大值-2|λ|．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．