Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）直接计算即可；
（Ⅱ）通过对a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）变形可知a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），进而利用累加法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2），
∴a₂=3^2-1+1=4，
a₃=3^3-1+4=13；
（Ⅱ）∵a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1，a_n-1-a_n-2=3^n-2，…，a₂-a₁=3¹，
累加得：a_n-a₁=$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{3}{2}$+a₁=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{3}{2}$+1=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$（n≥2），
又∵a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．