Question

7．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，P、Q分别是棱DD₁、CC₁的中点．
（1）画出面D₁BQ与面ABCD的交线，简述画法及确定交线的依据．（2）求证：平面D₁BQ∥平面PAO．

Answer 1

分析 （1）延长D₁Q与DC，交于点M，连接BM．得BM即为面D₁BQ与面ABCD的交线．由已知能推导出M在面D₁BQ与面ABCD的交线上，B也在面D₁BQ与面ABCD的交线上，从而得到BM即为面D₁BQ与面ABCD的交线．
（2）连接PQ、BD，四边形PABQ为平行四边形，从而AP∥BQ，进而BQ∥面AOP，同理可证D₁B∥面AOP，由此能证明面BQD₁∥面AOP．

解答 （1）解：作法：延长D₁Q与DC，交于点M，连接BM．得BM即为面D₁BQ与面ABCD的交线…（2分）
理由如下：
由作法可知，M∈直线D₁Q，
又∵直线D₁Q?面D₁BQ，∴M∈面D₁BQ，
同理可证M∈面ABCD，
则M在面D₁BQ与面ABCD的交线上，
又∵B∈面D₁BQ，且B∈面ABCD，
则B也在面D₁BQ与面ABCD的交线上，…（4分）
且面D₁BQ与面ABCD有且只有一条交线，
则BM即为面D₁BQ与面ABCD的交线．…（5分）
（2）证明：连接PQ、BD，由已知得四边形PABQ为平行四边形
∴AP∥BQ，∵AP?面AOP，BQ?面AOP，
∴BQ∥面AOP，…（8分）
同理可证D₁B∥面AOP，
又∵BQ∩D₁B=B，BQ?面BQD₁，BD₁?面BQD₁，
∴面BQD₁∥面AOP．…（10分）

点评 本题考查两平面交线的作法及证明，考查两平面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．