Question

3．若直线ax+by-1=0（a•b＞0）平分圆C：x²+y²-2x-4y+1=0，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出圆心坐标代入直线方程得到a，b的关系a+2b=1；将$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$乘以a+2b展开，利用基本不等式，检验等号能否取得，求出函数的最小值．

解答 解：圆C：x²+y²-2x-4y+1=0的圆心坐标为（1，2）
因为直线平分圆，所以直线过圆心（1，2），
∴a+2b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$-1取等号．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线平分圆时直线过圆心、考查利用基本不等式求函数的最值需注意：一正、二定、三相等．