Question

【题目】在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn.

（1）求P1，P2；

（2）若Pn≥2020，求n的最小值；

（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）P1＝5；P2＝9.（2）n的最小值为10.（3）存在；a，b，c满足的条件为或者

【解析】

（1）因原数列有3项，经第1次拓展后增加两项，可得项数P1；经第2次拓展后增加4项，可得项数P2.

（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn﹣1，可得Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1，变形利用等比数列的通项公式即可得出.

（3）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c.可得Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，可得Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c，可得Sn+1＝3Sn﹣（a+c），变形利用等比数列的通项公式即可得出.

（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1＝3+2＝5；

经第2次拓展后的项数P2＝5+4＝9.

（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn﹣1，

所以Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1

所以Pn+1﹣1＝2Pn﹣2＝2（Pn﹣1），

由（1）知P1﹣1＝4，

所以，

由，即2n+1≥2019，解得n≥10

所以n的最小值为10.

（3）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c

所以Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c

因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，

所以Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c

即Sn+1＝2a+3a1+3a2+…+3am+2c

所以Sn+1＝3Sn﹣（a+c），

得

由S1＝2a+3b+2c，则，

若使Sn为等比数列，则或

所以，a，b，c满足的条件为或者.