题目内容
【题目】定义:如果存在实常数a和b,使得函数总满足
,我们称这样的函数
是“
型函数”.请解答以下问题:
(1)已知函数是“
型函数”,求p和b的值;
(2)已知函数是“
型函数”,求一组满足条件的k、m和a的值,并说明理由.
(3)已知函数是一个“
型函数”,且
,
是增函数,若
是
在区间
上的图像上的点,求点M随着
变化可能到达的区域的面积的大小,并证明你的结论.
【答案】(1) (2)
,
,
,理由见解析 (3)M点在不等式
(
时等号不成立)所表示的区域内,面积为4,证明见解析
【解析】
(1)由函数是“
型函数”,则有
,将函数表达式代入可求出
的值.
(2)先证明的图像是关于
对称的,然后根据
是“
型函数”求出一组满足条件的k、m和a的值即可.
(3)由函数是一个“
型函数”,且
,
是增函数,可得M点在不等式
(
时等号不成立)所表示的区域内,在证明其充要性.
(1)解:,
所以,即
(2)解:设
注意到的图像是轴对称图形,
的对称轴是
,证明如下,
因为,
即;
,
于是,
,此时
.
(3)解:M点在不等式(
时等号不成立)所表示的区域内;
所以在的面积为
下面证明:
M点在不等式
(
时等号不成立)所表示的区域内;
,
,
时,
,满足
由单调递增,得到
时
;当
时
.
当时,
,所以
,所以
,
此时,
,所以满足
当时,
,所以
,所以
此时,
,所以满足
即M点在不等式(
时等号不成立)所表示的区域内
(B)证明:M点可为(
时等号不成立)所表示的区域内任意点.
存在函数,此时
,
其中,此时
是增函数,并满足
.
让k在区间变化,
图像充满
(
时等号不成立)所在区域
由A、B得:M运动区域是(
时等号不成立)所在区域.

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