Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x≤1}\\{{log}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁，x₂，x₃互不相等），则实数x₁+x₂+x₃的取值范围为（1，8）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）=|2x+1|的图象，令t=f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），设x₁＜x₂＜x₃，由图象的对称性可得x₁+x₂=-1，由条件可得2＜x₃＜9．作出y=log₂（x-m）（x＞1）的图象，由0＜t＜3，即可得到m的值．

解答 解：作出函数f（x）=|2x+1|的图象，x=1时，f（1）=3，
令t=f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），设x₁＜x₂＜x₃，
则有x₁+x₂=-1，
作出y=log₂（x-1）（x＞1）的图象，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则0＜f（x₃）＜3．
由y=3，即有log₂（x-1）=3，x=9，即x₃＜9，
y=0时，有log₂（x-1）=0，解得x=2，即x₃＞2，
可得x₁+x₂+x₃的取值范围为（1，8），
故答案为：（1，8）．

点评 本题考查分段函数的图象和运用，主要考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题的关键．