Question

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（$\frac{π}{4}$+A）=2．
（Ⅰ）求$\frac{sin2A}{sin2A+co{s}^{2}A}$的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{4}$，a=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．
（Ⅱ）由tanA=$\frac{1}{3}$，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+$\frac{π}{4}$），可得sinC，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由tan（$\frac{π}{4}$+A）=2．可得tanA=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{sin2A}{sin2A+co{s}^{2}A}$=$\frac{2tanA}{2tanA+1}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）由tanA=$\frac{1}{3}$，A∈（0，π），可得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
又由a=3，B=$\frac{π}{4}$及正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得b=3$\sqrt{5}$，
由sinC=sin（A+B）=sin（A+$\frac{π}{4}$），可得sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
设△ABC的面积为S，则S=$\frac{1}{2}$absinC=9．

点评 本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，属于中档题．