题目内容
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan($\frac{π}{4}$+A)=2.(Ⅰ)求$\frac{sin2A}{sin2A+co{s}^{2}A}$的值;
(Ⅱ)若B=$\frac{π}{4}$,a=3,求△ABC的面积.
分析 (Ⅰ)由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA,由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解.
(Ⅱ)由tanA=$\frac{1}{3}$,A∈(0,π),可得sinA,cosA.又由正弦定理可得b,由sinC=sin(A+B)=sin(A+$\frac{π}{4}$),可得sinC,利用三角形面积公式即可得解.
解答 解:(Ⅰ)由tan($\frac{π}{4}$+A)=2.可得tanA=$\frac{1}{3}$,
所以$\frac{sin2A}{sin2A+co{s}^{2}A}$=$\frac{2tanA}{2tanA+1}$=$\frac{2}{5}$.
(Ⅱ)由tanA=$\frac{1}{3}$,A∈(0,π),可得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
又由a=3,B=$\frac{π}{4}$及正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$,可得b=3$\sqrt{5}$,
由sinC=sin(A+B)=sin(A+$\frac{π}{4}$),可得sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
设△ABC的面积为S,则S=$\frac{1}{2}$absinC=9.
点评 本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用,同时考查了运算求解能力,属于中档题.

练习册系列答案
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15.全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标,根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示:
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
组号 | 分组 | 频数 |
1 | [4,5) | 2 |
2 | [5,6) | 8 |
3 | [6,7) | 7 |
4 | [7,8] | 3 |
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
16.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁UB=( )
A. | {3} | B. | {2,5} | C. | {1,4,6} | D. | {2,3,5} |
13.已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=( )
A. | [3,4) | B. | (2,3] | C. | (-1,2) | D. | (-1,3] |