题目内容
【题目】已知是抛物线
:
上异于原点
的动点,
是平面上两个定点.当
的纵坐标为
时,点
到抛物线焦点
的距离为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)直线交
于另一点
,直线
交
于另一点
,记直线
的斜率为
,直线
的斜率为
. 求证:
为定值,并求出该定值.
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)由已知条件和抛物线的定义可得。可求得
。故抛物线方程为
。(2)要表示斜率,应先设出点的坐标,找坐标之间的关系,再求斜率乘积为定值。因为点
,
,
在抛物线上,故可设
,
,
。利用点
和
,求出直线
的斜率,进而求其方程为:
,将该方程与抛物线方程联立,消
得
,根据两根积求得
,求出
。同理可得:
。进而求
。因为
,所以
。求得结论。
详解:(1)点
到抛物线焦点
的距离为
点
到准线的距离为
,得
抛物线方程为
(2)设,
,
直线
的方程为:
由
,得
由得
,即
同理可得:
为定值
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