Question

【题目】设函数f(x)＝ex－ax－2.

（1）求f(x)的单调区间；

（2）若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）当时，的递增区间是，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求导得，函数单调递增，当时，令得，所以函数上递减，上递增；（2）当时，原不等式分离参数后为，利用导数右边函数最小值为，所以的最大值为.

试题解析：

(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.

所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．

(2)由于a＝1时，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.

故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于

k<＋x(x>0)①

令g(x)＝＋x，则g′(x)＝＋1＝.

由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增，

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0.

所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．

故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．

设此零点为α，则α∈(1,2)．

当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．

又由g′(α)＝0，得eα＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等价于k<g(α)，

故整数k的最大值为2.