题目内容
【题目】已知函数满足:对任意
,
,都有
成立,且
时,
.
(1)求的值,并证明:当
时,
;
(2)判断的单调性并加以证明;
(3)若函数在
上递减,求实数
的取值范围.
【答案】(1),证明见解析;(2)
在
上是增函数,证明见解析;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)令可求得
或
,根据
时,
可排除
,设
,则
,那么
,再由
可得结论;(2)设
,则
,∴
,可证
;(3)若函数
在
上递减,即
时,
,根据单调性,
,进而
.
试题解析:(1)∵,
∴,
或
.
若,则
,
与已知条件时,
相矛盾,
所以.
设,则
,那么
.
又,
∴,
∵,∴
,从而
.
(2)函数在
上是增函数,设
,则
,∴
,
,
∵由(1)可知对任意,
,∴
,
又,∴
,
即,
∴函数在
上是增函数.
(3)∵由(2)知函数在
上是增函数,
∴函数在
上也是增函数,若函数
在
上递减,
则当时,
,即
时,
,
∵时,
,
∴.
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