题目内容
2.已知函数f(x)=log3$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$的值域为[0,1],则b与c的和为0或4.分析 根据f(x)的值域为[0,1],及对数函数的单调性便可得到$1≤\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}≤3$,可设$y=\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$,可整理成关于x的一元二次方程的形式:(y-2)x2-bx+y-c=0,方程有解,从而便有△≥0,从而得到4y2-(4c+8)y+8c-b2≤0,根据1≤y≤3便知1,3为方程4y2-(4c+8)y+8c-b2=0的两实数根,由韦达定理即可求出b,c,从而可以得出b与c的和.
解答 解:由0≤f(x)≤1得:
$1≤\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}≤3$;
设y=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$,整理成:
(y-2)x2-bx+y-c=0,看成关于x的一元二次方程,方程有解;
∴△=b2-4(y-2)(y-c)≥0;
即4y2-(4c+8)y+8c-b2≤0;
则1,3是方程4y2-(4c+8)y+8c-b2=0的两实根;
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+3=c+2}\\{1•3=\frac{8c-{b}^{2}}{4}}\end{array}\right.$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=±2}\\{c=2}\end{array}\right.$;
∴b+c=0或4.
故答案为:0或4.
点评 考查函数值域的概念,对数函数的单调性,单调性定义的运用,以及一元二次方程有解时,判别式△的取值情况,韦达定理.
练习册系列答案
相关题目
12.有1000个形状相同的球,其中红球500个,黄球300个,绿球200个,采用按颜色分层抽样的方法随机抽取100个球进行分析,则应抽取红球的个数为( )
A. | 20个 | B. | 30个 | C. | 50个 | D. | 100个 |
13.已知一次函数f(x)=ax+b,满足f(2)=0,f(-2)=1,则f(4)=( )
A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -$\frac{1}{2}$ | D. | 1 |
3.等差数列{an}中,a2+a8=16,则{an}的前9项和为( )
A. | 56 | B. | 96 | C. | 80 | D. | 72 |