题目内容
【题目】已知为公差不为零的等差数列,首项
,
的部分项
、
、 、
恰为等比数列,且
,
,
.
(1)求数列的通项公式
(用
表示);
(2)设数列的前
项和为
, 求证:
(
是正整数
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)由题得a1,a5,a17是成等比数列的,所以,则可以利用公差d和首项a来表示
,进而得到d的值,得到an的通项公式.
(2)利用第一问可以求的等比数列、
、 、
中的前三项,得到该等比数列的通项公式,进而得到
的通项公式,再利用分组求和法可得到Sn的表达式,可以发现
为不可求和数列,所以需要把
放缩成为可求和数列,考虑利用
的二项式定理放缩证明
,即
,故求和即可证明原不等式.
试题解析:
(1)设数列的公差为
,
由已知得,
,
成等比数列,
∴
,且
2分
得或
∵ 已知为公差不为零
∴, 3分
∴
. 4分
(2)由(1)知∴
5分
而等比数列的公比
.
∴6分
因此
,
∵
∴7分
∴
9分
∵当时,
∴(或用数学归纳法证明此不等式)
∴
11分
∴当时,
,不等式成立;
当时,
综上得不等式
成立. 14分
法二∵当时,
∴(或用数学归纳法证明此不等式)
∴
11分
∴当时,
,不等式成立;
当时,
,不等式成立;
当时,
综上得不等式
成立. 14分
(法三) 利用二项式定理或数学归纳法可得:
所以, 时,
,
时,
综上得不等式
成立.
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