Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1+ln（x+1）}{x}$，若不等式f（x）$＞\frac{k}{x+1}$对任意正实数x恒成立，则整数k的最大值是3．

Answer 1

分析 整理式子得$\frac{1+ln（x+1）}{x}$（x+1）＞k，构造函数g（x）=$\frac{1+ln（x+1）}{x}$（x+1）=1+ln（x+1）+$\frac{1+ln（x+1）}{x}$，只需利用导数求出函数g（x）的最小值即可．

解答 解：∵f（x）$＞\frac{k}{x+1}$
∴$\frac{1+ln（x+1）}{x}$（x+1）＞k
令g（x）=$\frac{1+ln（x+1）}{x}$（x+1）=1+ln（x+1）+$\frac{1+ln（x+1）}{x}$
∴g'（x）=$\frac{x-1-ln（x+1）}{{x}^{2}}$
∵g'（2）=$\frac{1-ln3}{{x}^{2}}$＜0，g'（3）=$\frac{2-ln4}{9}$＞0
∴存在x₀∈（2，3），使得g'（x₀）=0即x₀=1+ln（x₀+1）
∴g（x）≥g（x₀）=1+ln（x₀+1）+$\frac{1+ln（{x}_{0}+1）}{{x}_{0}}$
=x₀+1∈（3，4）
故整数k的最大值为3．

点评 考察了恒成立问题和利用导数求函数的极值．难道是对导函数的观察，确定极值点的范围．