题目内容
【题目】已知抛物线与双曲线
有公共焦点
,点
是曲线
在第一象限的交点,且
.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)以双曲线的另一焦点
为圆心的圆
与直线
相切,圆
.过点
作互相垂直且分别与圆
、圆
相交的直线
和
,设
被圆
截得的弦长为
,
被圆
截得的弦长为
,问:
是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(I);(II)
是定值
.
【解析】
试题(1)先利用抛物线的定义求出点的横坐标,然后将点
的横坐标代入抛物线的方程并结合点
所在的象限得到点
的坐标,先计算出
的长度,然后利用双曲线的定义计算出
的值,由
确定
的值,从而得到双曲线
的方程;(2)对直线
的斜率存在与否分两种情况讨论,对直线
的斜率不存在时进行验证,在直线
的斜率存在时,先假设直线
的方程,然后根据直线
与
的位置关系得到直线
的方程,并求出圆心到两直线的距离,根据圆的半径长、直线截圆的弦长和圆心距三者之间的关系求出两直线截圆
的弦长
、
,并进行验证
是否为定值.
试题解析:(1)∵抛物线的焦点为
,
∴双曲线的焦点为
、
, 1分
设在抛物线
上,且
,
由抛物线的定义得,,∴
,∴
,∴
, 3分
∴, 4分
又∵点在双曲线
上,由双曲线定义得:
,∴
, ∴双曲线
的方程为:
. 6分
(2)为定值.下面给出说明.
设圆的方程为:
, ∵圆
与直线
相切,
∴圆的半径为
,故圆
:
. 7分
显然当直线的斜率不存在时不符合题意, 8分
设的方程为
,即
,
设的方程为
,即
,
∴点到直线
的距离为
,
点到直线
的距离为
, 10分
∴直线被圆
截得的弦长
, 11分
直线被圆
截得的弦长
, 12分
∴, 故
为定值
. 14分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
满意 | 不满意 | |
男顾客 | 40 | 10 |
女顾客 | 30 | 20 |
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
【题目】某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造,下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果:
支持 | 不支持 | 合计 | |
中型企业 | 40 | ||
小型企业 | 240 | ||
合计 | 560 |
已知从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关?
(2)从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业,然后从这8家企业选出2家进行奖励,分别奖励中型企业20万元,小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率.
附:
0.05 | 0.025 | 0.01 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |