题目内容
7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-6），|$\overrightarrow{c}$|=10，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=5，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为120．分析 设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为 θ，由题意可得 $\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{10}$，$\overrightarrow{b}$ 与$\overrightarrow{c}$ 的夹角为π-θ，由条件利用两个向量的数量积的定义，求得cosθ 的值，可得θ的值．
解答 解：设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为 θ，θ∈[0°，180°]，∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-6），
∴$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{10}$，$\overrightarrow{b}$ 与$\overrightarrow{c}$ 的夹角为π-θ．
再根据（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=5，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=$\sqrt{10}$×10×cosθ+2$\sqrt{10}$×10×cos（π-θ）=-10$\sqrt{10}$•cosθ=5，
求得cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴θ=120°，
故答案为：120°．
点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，反余弦函数的定义，属于基础题．
| A． | $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{6}$ | C． | $\frac{8\sqrt{2}}{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |