题目内容
18．已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|=4，点A到直线l的距离为2．（1）求△ABC的外心M的轨迹E的方程；
（2）过点A任作直线与轨迹E相交于P、Q两点，问直线l上是否存在点H，使得$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$为定值？若存在，确定点H的位置及其定值；若不存在，说明理由．
分析 （1）建立直角坐标系，设出点的坐标，线段BC的中点，AC的中点，由$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{QM}$，可得结论；
（2）假设存在定点H（m，0），用点斜式设出直线l的方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系以及$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$为定值，求得m值，可得结论．
解答 
解：（1）建立如图所示的直角坐标系
设A（0，2），B（x0-2，0），C（x0+2，0），外心M（x，y）
则线段BC的中点P（x0，0），AC的中点Q（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，1）
∴$\overrightarrow{BC}$=（4，0），$\overrightarrow{AC}$=（x0+2，-2），$\overrightarrow{PM}$=（x-x0，y），
$\overrightarrow{QM}$=（x-$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，y-1），
由$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{QM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4（x-{x}_{0}）=0}\\{（{x}_{0}+2）（x-\frac{{x}_{0}+2}{2}）+（-2）（y-1）=0}\end{array}\right.$
消去x0可得：x2=4y；
（2）假设存在定点H（m，0），使得$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$为定值．
设直线l的方程为y=kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），
代入x2=4y得x2-4kx-8=0，∴x1+x2=4k，x1•x2=-8．
∵$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$=（x1-m）（x2-m）+y1y2
=x1•x2-m（x1+x2）+$\frac{1}{16}$（x1•x2）2+m2=-4-4km+m2为常数，与k无关，
∴m=0，此时，H（0，0），且 $\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$=-4．
点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，求定点H的横坐标m值是解题的难点和关键，属于中档题．
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如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，设MN=x，BN=n，AM=m，则以x、m、n为边的三角形的形状为（ ）| A． | 锐角三角形 | B． | 直角三角形 | C． | 钝角三角形 | D． | 随x、m、n的值而定 |
| A． | f（sinα）＞f（cosβ） | B． | f（sinα）＞f（sinβ） | C． | f（sinα）＜f（cosβ） | D． | f（cosα）＞f（cosβ） |
| A． | l∥m，l?α，m?β，则α∥β | B． | l⊥m，l?α，m?β，则α⊥β | ||
| C． | α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m | D． | l⊥α，l∥m，m?β，则α⊥β |