Question

18．已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|=4，点A到直线l的距离为2．
（1）求△ABC的外心M的轨迹E的方程；
（2）过点A任作直线与轨迹E相交于P、Q两点，问直线l上是否存在点H，使得$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$为定值？若存在，确定点H的位置及其定值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）建立直角坐标系，设出点的坐标，线段BC的中点，AC的中点，由$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{QM}$，可得结论；
（2）假设存在定点H（m，0），用点斜式设出直线l的方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系以及$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$为定值，求得m值，可得结论．

解答 解：（1）建立如图所示的直角坐标系
设A（0，2），B（x₀-2，0），C（x₀+2，0），外心M（x，y）
则线段BC的中点P（x₀，0），AC的中点Q（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，1）
∴$\overrightarrow{BC}$=（4，0），$\overrightarrow{AC}$=（x₀+2，-2），$\overrightarrow{PM}$=（x-x₀，y），
$\overrightarrow{QM}$=（x-$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，y-1），
由$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{QM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4（x-{x}_{0}）=0}\\{（{x}_{0}+2）（x-\frac{{x}_{0}+2}{2}）+（-2）（y-1）=0}\end{array}\right.$
消去x₀可得：x²=4y；
（2）假设存在定点H（m，0），使得$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$为定值．
设直线l的方程为y=kx+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入x²=4y得x²-4kx-8=0，∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8．
∵$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=x₁•x₂-m（x₁+x₂）+$\frac{1}{16}$（x₁•x₂）²+m²=-4-4km+m²为常数，与k无关，
∴m=0，此时，H（0，0），且 $\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$=-4．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，求定点H的横坐标m值是解题的难点和关键，属于中档题．