Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=1，D₁是线段A₁B₁上一动点（可以与A₁或B₁重合）．过D₁和CC₁的平面与AB交于D．
（1）若四边形CDD₁C₁总是矩形，求证：三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱；
（2）在（1）的条件下，求二面角B-AD₁-C的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用四边形CDD₁C₁总是矩形，证明CC₁⊥平面ABC即可；
（2）求出平面BAD₁、平面ACD₁的一个法向量，再利用向量的夹角公式，我们可以求出二面角B-AD₁-C的取值范围．

解答：（1）证明：∵D₁是线段A₁B₁上一动点（可以与A₁或B₁重合）．过D₁和CC₁的平面与AB交于D，四边形CDD₁C₁总是矩形，
∴CC₁⊥平面ABC
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱…（5分）；
（2）解：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，-

3

2

，0），C（

3

2

，0，0），
设D（0，a，0），则D₁（0，a，1），a∈[-

3

2

，

3

2

]，
显然平面BAD₁的一个法向量为

m

=(1，0，0)，
设平面ACD₁的一个法向量为

n

=(x，y，z)
∵

AC

=(

3

2

，

3

2

，0)，

CD1

=( -

3

2

，a，1)
∴

n • AC =0 n • CD1 =0

∴

3 2 x+ 3 2 y=0 - 3 2 x+ay+z=0

令x=1，∴y=-1，z=a+

3

2

∴平面ACD₁的一个法向量

n

=(1，-1，a+

3

2

)，于是

m

•

n

=1，
设二面角B-AD₁-C的平面角为θ，∴cosθ=

m • n

| m || n |

═

1

| m || n |

∵|

m

|=1，|

n

|²=2+（a+

3

2

）²∈[2，5]，
∴cosθ∈[

5

5

，

2

2

]，
所以θ∈[arccos

5

5

，

π

4

]…（12分）

点评：三棱柱为直棱柱的条件是侧棱与底面垂直，（2）问研究二面角的平面角，利用向量的方法，减少了辅助线的添加，将立体几何问题代数化，属于中档题．