Question

【题目】平面上有12个点,且任意三点不共线,以其中任意一点为始点,另一点为终点作向量,且作出所有的向量.其中3边向量的和为零向量的三角形称为“零三角形”.求以这些点为顶点的“零三角形”个数的最大值.

Answer 1

【答案】70

【解析】

设这12个点分别为,这12个点确定的三角形共有个.设以

为始点的向量数为.若以某3点为顶点的三角形为“非零三角形”,则有且仅有1点是此三角形两边向量的始点,所以,以,为顶点之一且为两边始点的非零三角形”有个(规定).从而,以这些点为顶点的三角形中,“非零三角形的总数为.

因此,“零三角形”的个数为

先求的最小值

因为所以

因非负整数不超过11,故有最小值

若存在,使得可记.

显然,则

.

又,则对于所有的下,只有当或1时, 才取最小值即当时, 取最小值.

所以, 的最小值为.

因此“零三角形”个数的最大值为.

注:此题中,因为,所以,不能用均值不等式求的最小值.故此最小值不为.