Question

【题目】已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)代入,再根据导数的几何意义求解即可.

(2)易得,因为,故分与两种情况分析导数的正负,从而得出单调区间即可.

(3)根据(2)中的单调性,分与两种情况讨论的单调性,并求出最值,再根据的值域满足的关系结合题意求解即可.

（1）若,则,故,,,

∴所求切线方程为；

（2）函数的定义域为,,

当时,,函数在上单调递减,

当时,令得,令得,故函数在单调递减,在单调递增；

（3）当时,函数在上单调递减,

又,而,不合题意；

当时,由（2）可知,,

（i）当,即时,,不合题意；

（ii）当,即时,,满足题意；

（iii）当,即时,则,

∵,函数在单调递增,

∴当时,,

又∵函数的定义域为,

∴,满足题意.

综上,实数的取值范围为.