题目内容

18.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2+2x-2y-1=0的面积,则$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为2+$\sqrt{3}$.

分析 根据已知条件得到a+b=2,将其化为$\frac{a+b}{2}$=1,代入$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$结合基本不等式的性质计算即可.

解答 解:∵直线ax-by+2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2+2x-2y-1=0的面积,
∴圆x2+y2+2x-2y-1=0的圆心(-1,1)在直线上,可得-a-b+2=0,
即a+b=2,
因此($\frac{1}{a}+\frac{3}{b}$)($\frac{a}{2}$+$\frac{b}{2}$)=$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{3a}{2b}$+$\frac{3}{2}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{3a}{2b}}$=2+$\sqrt{3}$,
当且仅当:$\frac{b}{2a}$=$\frac{3a}{2b}$时“=”成立,
故答案为:2+$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了圆的方程,考查基本不等式的性质,是一道基础题.

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