题目内容

1.已知圆C:(x-3)2+(y-2)2=2,直线l:(m+1)x+(m-1)y-4m=0.
(1)证明:直线l与圆C相交;
(2)若直线l与圆C相交于M、N,求MN的最大值和最小值.

分析 (1)直线l:(m+1)x+(m-1)y-4m=0可化为m(x+y-4)+(x-y)=0,解方程组,可得直线l恒过定点,即可证明直线l与圆C相交;
(2)直线l被圆C截得的弦长的最长时,直线过圆心;直线l被圆C截得的弦长的最小时,弦心距最大,CA的斜率为0,l∥y,可得直线l被圆C截得的弦长的最小值.

解答 (1)证明:直线l:(m+1)x+(m-1)y-4m=0可化为m(x+y-4)+(x-y)=0
令$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$,解得x=y=2,∴直线l恒过定点A(2,2)
∵(2-3)2+(2-2)2=1<2
∴A在圆内,∴不论m为何值时,直线l和圆C恒有两个交点;
(2)解:直线l被圆C截得的弦长的最长时,直线过圆心,最大值为2$\sqrt{2}$
直线l被圆C截得的弦长的最小时,弦心距最大,此时CA⊥l
∵圆C:(x-3)2+(y-2)2=2,圆心C(3,2),半径为$\sqrt{2}$
∴CA的斜率为0,
∴l∥y,
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2$\sqrt{2-1}$=2.

点评 本题考查直线恒过定点,考查弦长的计算,解题的关键是掌握圆的特殊性,属于中档题.

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