Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a²_n-a_n+λ．
（I）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等比数列，若存在，求出λ的值；不存在，说明理由；
（Ⅱ）当λ=1时，证明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （I）假设存在实数λ，使得数列{a_n}是等比数列，从而可得（2+λ）²=2（λ²+4λ+2），从而解得λ=0或λ=-4，从而讨论可知数列为等比数列；
（Ⅱ）可证明a_n＞n（n-1），（n≥3），从而利用裂项求和法求数列的前n项和即可．

解答 解：（I）假设存在实数λ，使得数列{a_n}是等比数列，
∵a₁=2，a₂=a²₁-a₁+λ=4-2+λ=2+λ，
a₃=a²₂-a₂+λ=4-2+λ=λ²+4λ+2，
∴（2+λ）²=2（λ²+4λ+2），
解得，λ=0或λ=-4，
当λ=0时，a_n=2，
故数列{a_n}是以2为首项，1为公比的等比数列；
当λ=-4时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n为奇数}\\{-2，n为偶数}\end{array}\right.$，
故数列{a_n}是以2为首项，-1为公比的等比数列；
综上所述，λ=0或λ=-4．
（Ⅱ）证明：当λ=1时，a_n+1=a²_n-a_n+1=a_n（a_n-1）+1，
∵a₁=2，
∴a₂=a₁（a₁-1）+1=3，
a₃=a₂（a₂-1）+1=7＞2×3，
a₄=a₃（a₃-1）+1=43＞3×4，
不妨设a_n＞n（n-1），（n≥3），
则a_n+1=a_n（a_n-1）+1＞n（n-1）（n（n-1）-1）+1＞n（n+1）；
故$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$
＜$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$
=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$＜1．

点评 本题考查了等比数列的应用及裂项求和法的应用．