Question

1．已知函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设$α，β∈[{-\frac{π}{2}，0}]，f（{3α+π}）=\frac{10}{13}$，$f（{3β+\frac{5π}{2}}）=\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件求得cosα 和sinβ的值，再利用同角三角跑函数的基本关系求得sinα和cosβ的值，再利用两角和差的正弦公式求得 sin（α-β）的值．

解答 解：（1）根据函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$图象，可得A=2，
$\frac{3T}{4}$=$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{11π}{2}$-π，求得ω=$\frac{1}{3}$．
在根据五点法作图可得$\frac{1}{3}$•π+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）设$α，β∈[{-\frac{π}{2}，0}]，f（{3α+π}）=\frac{10}{13}$=2sin（α+$\frac{π}{2}$）=2cosα，∴cosα=$\frac{5}{13}$．
∵$f（{3β+\frac{5π}{2}}）=\frac{6}{5}$=2sin（β+π）=-2sinβ，sinβ=-$\frac{3}{5}$．
由α、β∈[-$\frac{π}{2}$，0），可得sinα=-$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=-$\frac{12}{13}$，cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-$\frac{12}{13}$•$\frac{4}{5}$-$\frac{5}{13}$•（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，同角三角跑函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．