题目内容
【题目】某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）
（单位：万件）与年促销费用
（单位：万元）（
）满足
（
为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2017年该产品的利润
（单位：万元）表示为年促销费用（单位：万元）的函数；
（2）该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?
【答案】（1）
（
）, （2）该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元
【解析】试题分析：（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：
，当m=0时，x=1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；
（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．
试题解析：
（1）由题意知，当m=0时，x=1，
∴1=3﹣k，即k=2，
∴
；
每件产品的销售价格为1.5×
（万元），
∴利润函数y=x[1.5×]﹣（8+16x+m）
=4+8x﹣m=4+8（3﹣
）﹣m
=﹣[
+（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因为利润函数y=﹣[+（m+1）]+29（m≥0），
所以，当m≥0时，+（m+1）≥8，
∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=m+1，即m=3（万元）时，ymax=21（万元）．
所以，该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
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