题目内容
【题目】已知函数.
(I)讨论函数在
上的单调性;
(II)设函数存在两个极值点,并记作
,若
,求正数
的取值范围;
(III)求证:当=1时,
(其中e为自然对数的底数)
【答案】(1)当时,函数
在
上是增函数;当
时,函数
在
上是减函数,在
上是增函数.(2)正数
的取值范围是
.(3)见解析
【解析】试题分析:(1)先求函数导数,,再讨论导函数在定义区间上符号变化规律:当
时,
,即在
上是增函数;当
时,导函数有一个零点,符号先负后正,对应区间先减后增,(2)由题意易得要使函数
存在两个极值点,必有
,且极值点必为
,
,因此
,即正数
的取值范围是
.再化简条件
,得
,利用导数研究其单调性:为单调减,因此正数
的取值范围是
.(3)要证不等式
,即证
,利用导数易得函数
最小值为1,而
,得证.
试题解析:(Ⅰ) ,(
)
当时,
,
,函数
在
上是增函数;
当时,由
,得
,解得
(负值舍去),
,所以
当时,
,从而
,函数
在
上是减函数;
当时,
,从而
,函数
在
上是增函数.
综上,当时,函数
在
上是增函数;
当时,函数
在
上是减函数,在
上是增函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,
,函数
无极值点;
要使函数存在两个极值点,必有
,且极值点必为
,
,又由函数定义域知,
,则有
,即
,化为
,所以
,
所以,函数存在两个极值点时,正数
的取值范围是
.
由()式可知,
不等式化为
,
令,所以
,
令,
.
当时,
,
,所以
,不合题意;
当时,
,
,所以
在
是减函数,所以
,适合题意,即
.
综上,若,此时正数
的取值范围是
.
(Ⅲ)当时,
,
不等式可化为
,所以
要证不等式,即证
,即证
,
设,则
,
在上,h'(x)<0,h(x)是减函数;
在上,h'(x)>0,h(x)是增函数.
所以,
设,则
是减函数,
所以,
所以,即
,
所以当时,不等式
成立.
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(千元)由如表的统计资料:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
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