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如图,灌溉渠的横截面是等腰梯形,底宽2米,边坡的长为x米、倾角为锐角.
(1)当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时,求x的最小正整数值;
(2)当x=2时,试求灌溉渠的横截面面积的最大值.
(1)x的最小正整数值是3.
(2)灌溉渠的横截面面积的最大值是.
解:由已知得等腰梯形的高为xsin,上底长为2+2xcos,从而横截面面积S=(2+2+2xcos)·xsin=x2sincos+2xsin.
(1)当时,面积是(0,+∞)上的增函数,当x=2时,S=3<8;当x=3时,S=. 所以,灌溉渠的横截面面积大于8平方米时,x的最小正整数值是3.
(2)当x=2时,S=4sincos+4sin,S=4cos2-4sin2+4cos
=4(2cos2+cos-1)=4(2cos-1)·(cos+1),由S=0及是锐角,得. 当0<<时,S>0,S是增函数;当<<时,S<0,S是减函数。所以,当=时,S有最大值.
综上所述,灌溉渠的横截面面积的最大值是.
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