Question

【题目】已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.

Answer 1

【答案】【解答】
证明：am＋n＋bm＋n－(ambn＋anbm)
＝(am＋n－ambn)－(anbm－bm＋n)＝am(an－bn)－bm(an－bn)＝(am－bm)(an－bn)．
当a>b时，am>bm ， an>bn ， ∴(am－bm)(an－bn)>0；
当a<b时，am<bm ， an<bn ， ∴(am－bm)(an－bn)>0；
当a＝b时，am＝bm ， an＝bn ， ∴(am－bm)(an－bn)＝0.
综上，(am－bm)(an－bn)≥0，即am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.
【解析】本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用，解决问题的关键是利用作差比较，因式分解的方法，分类讨论思想，对a,b的大小关系讨论，可证不等式成立.