题目内容
【题目】如图，在正四棱柱
中，
，
，
，
，
是棱
的中点，平面
与直线
相交于点
.
（1）证明：直线
平面
.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）推导出
，
，设点
为
的中点，连结
，
，推导出
平面
，
平面，从而平面
平面，由此能证明
平面．
（2）以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角
的正弦值．
解：（1）证明：
平面
平面
，
平面
平面
，平面平面
，
，由题意得，
设点为的中点，连结，，
是棱
的中点，
，
平面，
平面，
平面，
，
，
，
平面，
平面，
平面，
，
平面平面，
平面
，
平面．
（2）解：
，
，如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，
，
，1，，
，0，
，
1，
，
，1，，
，1，，
，0，，
设平面
的法向量
，，
，
则
，取
，得
，
，，
设平面
的法向量
，
，
，
则
，取
，得
，1，，
设二面角的平面角为
，
由
，
，
二面角的正弦值为．
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