题目内容
【题目】若函数
（
，
是自然对数的底数，
）存在唯一的零点，则实数
的取值范围为______．
【答案】
【解析】
函数
存在唯一的零点等价于函数
与函数
的图像只有一个交点．∵
，
，∴函数与函数的图像的唯一交点为
．对
求导，可得的单调性及斜率范围，又
是最小正周期为2．最大值为
的正弦型函数，画出草图，比较与在x=1处斜率即可.
函数（
，
是自然对数的底数，
）存在唯一的零点等价于函数与函数的图像只有一个交点．
∵，，
∴函数与函数的图像的唯一交点为．
又∵
，且
，
，
∴在
上恒小于零，即在上为单调递减函数．
又∵
，当且仅当
，即
时等号成立，且
是最小正周期为2．最大值为的正弦型函数，
∴可得函数与函数的大致图像如图所示．
∴要使函数与函数的图像只有唯一一个交点，则
．
∵
，
，
∴
，解得
．
对∵，∴实数的取值范围为．
故答案为：.
【题目】科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
| 26 | 27 | 39 | 41 | 49 | 53 | 56 | 58 | 60 | 61 |
| 14.5 | 17.8 | 21.2 | 25.9 | 26.3 | 29.6 | 31.4 | 33.5 | 35.2 | 34.6 |
根据上表的数据得到如下的散点图.
（1）根据上表中的样本数据及其散点图：
（i）求
；
（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.
（2）若
关于
的线性回归方程为
，求
的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.
附：参考数据：
，
，
，
，
，
，
参考公式：相关系数
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
【题目】为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，某年国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：
新能源汽车补贴标准 | |||
车辆类型 | 续驶里程 | ||
|
|
| |
纯电动乘用车 | 3.5万元/辆 | 5万元/辆 | 6万元/辆 |
某校研究学习小组从汽车市场上随机选取了
辆纯电动乘用车，根据其续驶里程
（单次充电后能行驶的最大里程）作出了如下的频率与频数的统计表：
分组 | 频数 | 频率 |
| 2 | 0.2 |
| 5 |
|
|
|
|
合计 |
| 1 |
（1）若从这辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150km的概率．
（2）若以频率作为概率，设
为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求的分布列和数学期望
．
