Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是梯形，且，,,,,.

（1）求证：平面 平面;

（2）若,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

(1) 取中点，连接、、，证明和可得平面（2）以为原点建立空间直角坐标系，如图，求平面ASD和平面SDC的法向量，利用向量的夹角公式计算即可.

解：（1）取中点，连接、、，在直角梯形中，，，，

∴，，；

∴，又

∴为等边三角形．

∵，∴ ．

∵，∴．∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴平面平面．

（2）∵，∴．

由（1）知，平面平面，∴平面，

∴直线两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系，如图，

则．

∴．

设平面的法向量为，

由，得，取，得，

设平面的法向量为，由，得，取，

得，

∴，

由图可知二面角为钝二面角，

∴二面角的余弦值为．