题目内容
【题目】已知为实数,数列
满足
,
.
(Ⅰ)当和
时,分别写出数列
的前5项;
(Ⅱ)证明:当时,存在正整数
,使得
;
(Ⅲ)当时,是否存在实数
及正整数
,使得数列
的前
项和
?若存在,求出实数
及正整数
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见证明;(Ⅲ)见解析
【解析】
(I)利用递推公式,依次计算出的值.(II)当
时,
,此时数列为递减的等差数列,且公差为
,故总有一项是不大于
的.根据这一项在
之间讨论,结合数列的递推公式,判断出正整数
存在.(III)将
分成
三类,求得
的表达式,由此判断出不存在实数
正整数
,使得
.
(Ⅰ)当时,
;
当时,
.
(Ⅱ)当时,
. 所以,在数列
中直到第一个小于等于
的项出现之前,数列
是以
为首项,
为公差的递减的等差数列.
即.
所以,当足够大时,总可以找到
,使
.
(1)若,令
,则存在正整数
,使得
.
(2)若,因为
,则
,
令,则存在正整数
,使得
.
综述所述,则存在正整数,使得
.
(Ⅲ)①当时,
当时,
,
当时,
(
),
令,
,而此时
为奇数,所以不成立;又
不成立,所以不存在正整数
,使得
.
②当时,
……
所以数列的周期是4,
当,
时,
;
当,
时,
;
当,
时,
;
当,
时,
.
所以(
).
所以或者是偶数,或者不是整数,即不存在正整数
,使得
.
③当时,
(
),不存在正整数
,使得
.
综述所述,不存在实数正整数
,使得
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目