题目内容

如图所示:图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图象,图2是函数g(x)=loga(x+b)的部分图象.
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)如果函数y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,求m的取值范围.
(1)由题图1得,二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2),
故可设函数f(x)=a(x-1)2+2,又函数f(x)的图象过点(0,0),故a=-2,
整理得f(x)=-2x2+4x.
由题图2得,函数g(x)=loga(x+b)的图象过点(0,0)和(1,1),
故有
logab=0
loga(1+b)=1
a=2
b=1

∴g(x)=log2(x+1)(x>-1).
(2)由(1)得y=g(f(x))=log2(-2x2+4x+1)是由y=log2t和t=-2x2+4x+1复合而成的函数,
而y=log2t在定义域上单调递增,
要使函数y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,
必须t=-2x2+4x+1在区间[1,m)上单调递减,且有t>0恒成立.
由t=0得x=
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,又t的图象的对称轴为x=1.
所以满足条件的m的取值范围为1<m≤
2+
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2
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