题目内容

【题目】是圆上的任意一点,是过点且与轴垂直的直线,是直线轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)已知直线与曲线交于两点,点关于轴的对称点为,证明:直线过定点.

【答案】(1)(2)见证明

【解析】

(1)点A在圆x2+y2=16上运动,引起点Q的运动,可由4|BQ|=3|BA|,得到点A和点Q坐标之间的关系式,由点A的坐标满足圆的方程得到点Q坐标满足的方程;(2)设Mx1y1),Nx2y2),则M′(﹣x1y1),将直线方程与椭圆方程联立,写出韦达定理,求出直线MN的方程,即可判断出所过的定点.

(1)设,因为在直线上,

所以.①

因为点在圆上运动,所以.②

将①式代入②式即得曲线的方程为.

(2)设,则

联立,得

所以.

因为直线的斜率

所以为.

,得

所以直线过定点.

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