Question

【题目】设椭圆的离心率是，A、B分别为椭圆的左顶点、上顶点，原点O到AB所在直线的距离为.

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），，垂足为H，且，求证：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）见解析

【解析】

（I）直线AB的方程为：1，化为：bx﹣ay+ab＝0．原点O到AB所在直线的距离为，可得，化为：12（a2+b2）＝7a2b2，又，

a2＝b2+c2．联立解出即可得出．

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＞0，由AH⊥MN，垂足为H，且2，可得AM⊥AN．可得（x1+2）（x2+2）+y1y2＝（2+km）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4+m2＝0，把根与系数的关系代入化简即可得出．

（I）直线AB的方程为：1，化为：bx﹣ay+ab＝0．

∵原点O到AB所在直线的距离为，∴，

化为：12（a2+b2）＝7a2b2，又，a2＝b2+c2．

联立解得a＝2，b，c＝1．

∴椭圆C的方程为：1．

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，

△＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，（*）

∴x1+x2，x1x2，

∵AH⊥MN，垂足为H，且2，

∴AM⊥AN．

∴（x1+2）（x2+2）+y1y2＝（x1+2）（x2+2）+（kx1+m）（kx2+m）＝（2+km）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4+m2＝0，

∴﹣（2+km）（1+k2）4+m2，

∴4k2﹣16km+7m2＝0，

解得km，或m．满足（*）

∴直线l方程为：y＝m（x+1），或y＝m．

直线y＝m（x+1）恒过定点A（﹣2，0），舍去．

直线y＝m恒过定点（，0），

∴直线l恒过定点（，0）．