题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
,(
为参数),
为曲线
上的动点,动点
满足
(
且
),
点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程,并说明
是什么曲线;
(2)在以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴的极坐标系中,
点的极坐标为
,射线
与
的异于极点的交点为
,已知
面积的最大值为
,求
的值.
【答案】(1)见解析;(2)2
【解析】分析:(1)设,
,根据
,推出
,代入到
,消去参数即可求得曲线
的方程及其表示的轨迹;(2)法1:先求出
点的直角坐标,再求出直线
的普通方程,再根据题设条件设
点坐标为
,然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质,结合
面积的最大值为
,即可求得
的值;法2:将
,
代入
,即可求得
,再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质,结合
面积的最大值为
,即可求得
的值.
详解:(1)设,
,由
得
.
∴
∵在
上
∴即
(
为参数),消去参数
得
.
∴曲线是以
为圆心,以
为半径的圆.
(2)法1: 点的直角坐标为
.
∴直线的普通方程为
,即
.
设点坐标为
,则
点到直线
的距离
.
∴当时,
∴的最大值为
∴.
法2:将,
代入
并整理得:
,令
得
.
∴
∴
∴当时,
取得最大值
,依题意
,∴
.
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